Wiskunde geen kunst?

september 16, 2011

Voor sommige leerlingen is wiskunde een saai vak. Ze kunnen zich niets voorstellen bij sommen en formules. Dat vertaalt zich in vragen als ‘Waar is dit goed voor?’ of ‘Waar heb je dit voor nodig?’. Ouders zitten met de handen in het haar, zij vonden wiskunde vroeger ook al een saai vak. Contextopgaven hebben het er niet beter op gemaakt, wordt gezegd.

Het is ook niet makkelijk om een goede betekenisvolle opgave te ontwerpen en vaak zijn de gezochte contexten verouderd, gekunsteld en niet origineel. Op een aantal prachtige voorbeelden nagelaten worden de opgaven vaak ingewikkelder en zeker niet minder saai. We investeren en veel in om wiskunde aantrekkelijker te maken en om het belang ervan aan te geven.

Maar een heel belangrijk punt blijft in al deze acties vaak achterwege. Want wat is het probleem eigenlijk? Leerlingen kunnen zich bij wiskunde niets voorstellen, ze hebben er geen beeld bij. Terwijl wiskunde bij uitstek een vak is dat het voorstellingsvermogen prikkelt. Hoe kunnen we die verbeelding bij leerlingen op gang brengen?

De oplossing ligt dichterbij dan u denkt. De experts op dit gebied zitten bij u op school, in de koffiekamer komt u ze tegen, het zijn uw collega’s kunstdocenten. Beeldende vorming, drama, tekenen, CKV, film. Allemaal vakken waar verbeelding centraal staat. Ga dus als wiskunde docent met hen samenwerken. Prikkel het voorstellingsvermogen van uw leerlingen met opdrachten op het snijvlak van wiskunde en kunst. Hieronder beschrijf ik hoe:

  1. Laat leerlingen een wiskundig onderwerp uitleggen door middel van beeld, geluid, een verhaal of toneelstuk.
  2. Neem hiervoor een onderwerp dat niet nieuw voor hen is: bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras, rekenen met haakjes, berekenen van de oppervlakte van figuren, abc-formule. Enzovoorts. Zo kunnen leerlingen boven de stof staan en aandacht besteden aan de vormgeving.
  3. Werk echt samen: de kunstdocent waarborgt het artistieke gehalte, vormgeving en uitvoering. De wiskunde docent bewaakt de wiskundige inhoud. Zet hoog in, ga door tot u allebei helemaal tevreden bent met de creaties van uw leerlingen.

Zonder voorstellingsvermogen geen wiskunde. Maak gebruik van de expertise die binnen uw school aanwezig is op dit vlak. Begeleid leerlingen samen in deze weet–kunst lessen, blijf als wiskundige scherp op concepten en laat u verrassen door de benadering van uw collega kunstdocent.

Belangrijker dan het tentoonstellingsmateriaal voor uw wiskundelokaal die dit oplevert, is het feit dat leerlingen op deze manier inzicht in het vak kunnen opdoen. Mocht u hier aan twijfelen, bedenk dat er veel wiskundigen zijn die hun nieuwe ideeën opdoen als ze even niet nadenken of formules uitwerken, maar wanneer zij tekenen, schilderen of een muziekstuk spelen. Dit is het prettige gebied van ‘niet snappen’, waar denken even ophoudt, waar je het even niet meer weet en waarmee je ruimte maakt voor nieuwe inzichten.

Een dergelijke aanpak is dan niet alleen inspirerend voor de wiskundeles, maar misschien wel het begin van een heel nieuw profiel op school: cultuur & natuur!


Knippen en plakken in de kathedraal

juni 7, 2011

Afgelopen weken ging het berekenen van de oppervlakte van een driehoek door mijn hoofd. Als je die oppervlakte wilt berekenen, kun je een formule toepassen. En het leuke van die formule is, dat je met knippen en plakken vrij makkelijk kunt laten zien waarom die formule is zoals ie is. Wat een verassing dat Scott Carter, nog steeds op die WisKunst bijeenkomst in Gent, zijn lezing in de kathedraal St Baaf begint met een afbeelding voor een bewijs van de stelling van Pythagoras door knippen en hergroeperen van figuren. U leest het goed, deze wiskundige gaf een lezing op locatie, in een kerk. Terwijl tegelijkertijd toeristen en gelovigen rondschoven, verzamelde zich een groepje nerds voorin de kathedraal, werden scherm en projector vooraan het altaar geplaatst en kon het feest beginnen. Het ging dus over knip congruentie, scissors congruence, wat betekent dat je een bepaald object uit elkaar haalt en herschikt om zo bijvoorbeeld een formule voor de oppervlakte of inhoud inzichtelijk te maken. Formules en afbeeldingen wisselden elkaar in vlot tempo af en al snel waren we beland bij de hyperkubus, 4D zeg maar. Door hergroeperen werd heel elegant Heron’s formule bewezen. Carter gaf aan dat hij deze wiskundige ontdekkingen deed door voortdurend heen en weer te springen tussen wiskunde en kunst, of liever gezegd, tussen beeld en formule. Indrukwekkend ook de toelichting aan het einde: ‘Ik begin met een idee, en dan komt er een ander idee, zonder dat er een logisch verband tussen die twee is, het houdt me op een of andere manier bezig, en ik ben op het diepste niveau nieuwsgierig. Dan zomaar opeens, twee dagen later, zie ik wat die twee met elkaar te maken hebben. Dat is een ander bewustzijnsniveau dan wanneer ik aan tafel vergelijkingen zit uit te schrijven. Intuitie en exact denken wisselen elkaar af. Kunst en wiskunde zijn twee zijden van dezelfde medaille.’


Ik bijt mijn tong af

april 24, 2011

[1] Veel mensen denken dat er bij wiskunde maar een goed antwoord mogelijk is. In werkelijkheid is er geen vak waarbij er zo veel wegen naar Rome leiden als bij wiskunde. En dat heeft dan niet te maken met het concrete antwoord op een bepaalde vraag, maar wel met het beeld dat een leerling heeft bij een bepaalde som of bij een antwoord. Reflecteren op eigen ideeen en ervaringen is juist bij wiskunde cruciaal voor leerlingen om tot begripsvorming te komen.

Praten met medeleerlingen helpt hierbij. Door je werk aan anderen uit te leggen, ga je het zelf beter snappen. Hoe zorg je er nu als docent voor dat alle leerlingen de gelegenheid krijgen om hun werk uit te leggen? De opmerking ‘Je mag met je buren overleggen’ of ‘Wie het snapt legt het aan een ander uit’ zal over het algemeen niet volstaan.

Onderzoek

In het onderzoeksproject ‘ Discussieren voor een beter begrip: de rol van de docent’ uitgevoerd in het kader van het Landelijk Expertisecentrum Lerarenopleidingen Wiskunde en Rekenen (ELWIeR) hebben wiskundedocenten geexperimenteerd met proceshulp (Dekker & Elshout-Mohr, 1999). Deze hulp aan leerlingen die samen werken aan vraagstukken is uitsluitend gericht op de communicatie tussen de leerlingen: laten leerlingen elkaar hun werk zien? Geven ze elkaar uitleg over hun werk? Geven ze elkaar kritiek? Reageren ze op elkaars kritiek door hun eigen werk te verantwoorden of te reconstrueren? De docent observeert en stuurt zo nodig aan met opmerkingen als ‘Wat denk jij ervan?’ , ‘Ben jij het hiermee eens?’ De wiskundige inhoud laten de docenten dus even (!) helemaal buiten beschouwing.

Wiskundeles

Deze benadering is niet gebruikelijk voor wiskundedocenten. In vrijwel iedere les zijn leerlingen een tijd zelf aan het werk en loopt de docent door de klas om vragen te beantwoorden. Meestal gebeurt dit door een kleine aanwijzing te geven die aansluit bij de vraag van van de leerling. Zowel voor beginnende als voor ervaren wiskundedocenten is het niet eenvoudig om het geven van aanwijzingen los te laten en proceshulp te bieden. De neiging om leerlingen te helpen door het geven van uitleg is groot. Sommigen zien hun wiskundige hulp of uitleg als een ‘beloning’ voor leerlingen die met vragen laten zien dat ze hun huiswerk hebben gemaakt. Ze hebben het idee hun werk niet goed te doen wanneer ze leerlingen elkaar laten helpen. Anderen noemen hun passie  voor wiskunde, het plezier in het uitleggen, als verklaring voor hun twijfels.

Simpele ingreep

Ondanks hun bezwaren hebben docenten in het experiment bewust eigen uitleg opgeschort en hun leerlingen met elkaar in gesprek gebracht. Johan, sinds drie jaar wiskundedocent, begint klein. Hij heeft met zijn klas onrustige tijden gekend, de rust is hersteld en hij wil daarom nu geen al te grote veranderingen doorvoeren. Normaliter geeft hij uitleg als leerlingen daar naar vragen, maar vandaag doet hij het anders. Hij geeft geen directe antwoord, maar betrekt een medeleerlingen in het gesprek door te vragen wat zij ervan denkt. Hij benoemt ook wat hij doet: ‘Ik geef nu even geen antwoord, want ik wil eerst dat jullie met elkaar overleggen.’ Dan loopt hij verder en observeert van een afstandje of de leerlingen met elkaar in gesprek gaan. Zolang hij de leerlingen intensief met elkaar ziet praten over wiskunde, komt hij niet tussenbeide. Als het gesprek stokt, gaat hij naar de leerlingen toe en moedigt hen aan om nog eens te verwoorden wat ze wel snappen en daarbij kritisch naar elkaar te luisteren. Zelf zegt hij hierover: ‘Ik moet echt iets overwinnen om geen hulp te bieden. Ik bijt mijn tong af, maar het is heel verrassend om te zien dat ze echt met elkaar in gesprek gaan over de opdrachten. Ik heb een aantal tweetallen op dezelfde manier begeleid, en ik zie ineens dat de klas heel actief aan de slag gaat, terwijl ze anders meer op mij leunen. En dat met zo’n simpele ingreep. Er is hier een wereld te winnen.’

Doorbraak

Docent Linda laat een leerling waar ze geen hoge verwachtingen van heeft toch uitleg geven aan haar twee medeleerlingen: ‘Ik wil we nu vanaf blijven en dat is dus heel moeilijk. Sommige leerlingen zijn gewoon heel goed. Tamar is echt heel goed. Nu stel ik voor dat Rica haar verder helpt. Rica is niet zo sterk en die is nog lang niet zo ver als Tamar, want Tamar werkt wel door. Die legt altijd alles uit aan die andere twee, Iris en Rica. Nu heeft Tamar gewoon een keer een vraag aan mij en laat ik Rica haar uitleg geven. Maar ik weet niet hoe dat afloopt, dat vind ik wel lastig.’

In het gesprek van de leerlingen horen we dat niet Rica, maar Iris, een leerling die gewoonlijk niet veel zegt, uitgebreid haar ideeen gaat verwoorden. Hiermee kan ze haar begrip versterken en zal ze een volgende keer hints of uitleg van de docent beter begrijpen. Een hele doorbraak voor deze leerling en dat allemaal door het ‘terugspeelballetje’ van de docent.

Praktijk

Uiteraard is het niet de bedoeling dat docenten geen uitleg meer geven in de wiskundeles. Een helder verhaal hoort er zeker bij. Wel is het zo dat door het geven van proceshulp wiskundedocenten hun leerlingen meer zelf kunnen laten nadenken. Door met elkaar hun eigen idee”en te bespreken legen leerlingen de basis voor inzicht. Van de wiskundedocent vraagt proceshulp moed om te veranderen.

Literatuur

Dekker, R. & Elshout-Mohr, M. (1999). Soms moet je ervan afblijven. Nieuwe Wiskrant, 18(3), 9-13.


[1] Dit artikel verscheen in 2009 in de bundel ‘ Professionals over leren en laten leren’ van het Centrum voor Nascholing.


Follow

Get every new post delivered to your Inbox.